ALUMNO: Arturo
Covarrubias Padilla
ASESOR: Sergio Jiménez
Martínez
MATERIA: Cálculo Diferencial
Cálculo Diferencial
Cálculo rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos
variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimo de funciones y de la
determinación de longitudes, áreas y volúmenes.
El cálculo diferencial: es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del
cálculo. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando
cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del
análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la
derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una
función.
Las principales aplicaciones del cálculo diferencial son:
• El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración
• El cálculo de máximos y mínimos.
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Aportaciones
hechas por Newton y Leibniz Al Cálculo Diferencial.
Newton:
Abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica
desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas
aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones; Newton también buscaba
cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de
tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el
método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas
de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia
únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y
áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No
obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a
trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de
recurrir al sistema cartesiano. Descubrió el binomio de Newton y los elementos
del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. Poco después dijo que “había
encontrado el método inverso de las fluxiones”, es decir, el cálculo integral y
e método para calcular las superficies encerradas en curvas como la hipérbole,
y los volúmenes y de los sólidos.
Leibniz:
Estableció la
resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las
tangentes, esto dentro del cálculo diferencial; dentro del cálculo integral
logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante.
Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la
isócrona y de algunas otras aplicaciones
mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales. No cabe duda que su mayor
aportación fue el nombre de cálculo diferencial e integral, así como la
invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como
el signo = (igual), así como su notación para las derivadas dx/dy,
y su notación para las integrales; También inventó el sistema binario,
fundamento de virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras
actuales. La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz
como a Newton. De acuerdo con los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de
1675 tuvo lugar un acontecimiento fundamental, ese día empleó por primera vez
el cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x).
Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por
ejemplo, el signo "integral" ∫, que representa una S
alargada, derivado del latín "summa", y la letra "d"
para referirse a los "diferenciales", del latín
"differentia". Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es
probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca
de su Calculus hasta 1684.La regla del producto del cálculo diferencial es aún
denominada "regla de Leibniz para la derivación de un producto".
Además, el teorema que dice cuándo y cómo diferenciar bajo el símbolo integral,
se llama la "regla de Leibniz para la derivación de una integral".
Concepto de LÍMITE
En matemáticas, el concepto de límite es una noción topológica que
formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una
sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función
se acercan a determinado valor.
En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático)
este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de
convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el
concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de
distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos
por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite. El
concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las
redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas
de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada
mediante lim como en lim (an) = a o se representa mediante la
flecha (→) como en
an → a.
